ギリシャ時代からの数学者の夢
全ての素数が完全にわかる！
『リーマン予想とはなにか』まえがき
「リーマン予想」とはリーマンのゼータ関数と呼ばれる複素の関数の値がどのような場合に0になるか、という問題です。もし0になる場合を完全に知ることができれば、長い間、数学者の大きな夢であった「全ての素数を完全に知る」ことができるのです。
リーマン予想とはどのような問題か
数学は、同じ自然科学の中でも、物理学や化学とは大きく異なる点があります。その一つは、画期的な業績を上げても、それで大金を手にするようなことは基本的にないだろうということです。
しかし、中には例外もあります。その一つが、本書のテーマである「リーマン予想」の解決です。
成功すると、少なくとも100万米ドルを手にすることができます。もちろんそのような大金を提供しようとする人がいるわけは、リーマン予想の解決が、私たちがこの世界を理解するうえで、とても大きな進展をもたらすだろうと期待されているからです。
リーマン予想というのは、今から150年ほど前に生まれた数学の問題です。問題文としては今でも、当時と変わっていません。
150年間何も変わっていないのなら、この間数学者は怠けていたのでしょうか？ もちろんそんなことはありません。多くの数学者が、血のにじむような努力を重ねてきました。関連する研究の成果は、数学の世界を大きく変えてきています。それでも、いまだ解かれていない難問なのです。
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ところで、リーマン予想とはどのような問題でしょうか。
それは、「リーマンのゼータ関数と呼ばれる複素数の関数の値が、どのような場合に0（零）になるか」という問題です。リーマンは、このような場所がどこであるかを予想したのですが、彼自身はそのことを証明することはできませんでした。そこで、後世にそれが正しければ証明し、間違いであれば反例を示すことが問題として残ったのです。
しかし、ある関数の性質が、どうしてそこまで重要な問題になるのでしょうか。
実は、リーマンのゼータ関数がどのような場合に0になるかを完全に知ることによって、原理的には全ての素数を知ることができるようになるのです。
素数は、古代ギリシャの昔から、人々の興味を惹いてきました。それでも疑問は次々にわいてきます。素数の全てを知ることができれば、これまでにわからなかった素数に関する多くの事柄がわかることになります。また、素数にまつわる新たな発見ももたらされるでしょう。
そのような期待があるからこそ、ここまでリーマン予想が注目されるのです。
