2020.01.22
# 離散数学 # 群論 # ガロア

「ガロア理論」を本気で学ぶための、1時間でわかる離散数学の基礎

一歩ずつ進めば必ず理解できます!
芳沢 光雄 プロフィール

体(たい)とは何か

最初にの定義を述べよう。2つ以上の元をもつ集合\(K\)に2つの演算「\(+\)」と「\(\cdot \)」が定義されていて次の条件を満たすとき、\(K\)を体という。

(ⅰ)\(K\)は\(+\)に関して可換群である。この単位元を普通\( 0 \)で表す。
(ⅱ)\(K-\{0\}\)(\(K\)から\(0\)を除いた集合)は\(\cdot \)に関して可換群である。この単位元を普通\(1\)で表す。
(ⅲ)\(K\)は分配法則を満たす。すなわち、\(K\)の任意の元\(a, b, c\)に対して\[a(b+c)=ab+ac, \ (a+b)c=ac+bc\]が成り立つ。

明らかに有理数全体の集合\(Q\)、実数全体の集合\(R\)、複素数全体の集合\(C\)は体であり、それらを順に有理数体、実数体、複素数体という。

 

また、部分群と同様に部分体を定める。\(Q\)は\(R\)の部分体であり、\(R\)は\(C\)の部分体である。

体\(K\)上の置換\(f\)が\(K\)の自己同型写像であるとは、次の条件(☆)を満たすときにいう。

(☆)\(K\)の任意の元\(x, y\)に対し、\[f(x+y)=f(x)+f(y), \ f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)\]

体の自己同型写像の簡単な例を一つ挙げると、\(C\)の各元\(a+b\sqrt{-1}\)を\(a-b\sqrt{-1}\)に移す写像\(f\)は、\(C\)の自己同型写像である。ただし、\(a\)と\(b\)は実数。

ガロア理論

ガロア理論の中核は「ガロアの基本定理」というもので、ごく簡単にその内容を述べると以下のようになる。

体\(L\)は体\(K\)を部分体として含み、\(L\)は\(K\)の有限次ガロア拡大体という性質を満たすとき、\(K\)と\(L\)の中間体\(M\)全体と\(G={\rm Aut}_K (L) \)の部分群\(H\)全体との間には、ガロア拡大体と正規部分群も対応する一対一の対応関係がある。

ここで、\(M\)が\(K\)と\(L\)の中間体であるとは、\(M\)は\(L\)の部分体であり、\(K\)は\(M\)の部分体であるときにいう。

また、\(L\)の\(K\)上のガロア群と呼ばれる\(G={\rm Aut}_K \left(L\right) \)は体\(L\)の自己同型群の部分群で、次のように定義される。

\( {\rm Aut}_K \left(L\right) =\{g|g\)は体\(L\)の自己同型写像で、\(K\)の各元はそれ自身に移す\( \} \)

この定理は、拙著『今度こそわかるガロア理論』でも一から丁寧に証明した。しかし、ガロア理論に興味のある一般の方々からすると、方程式が解けるか否かの方に関心が高いのである。とくに、解けない方程式に関する質問は昔から多く寄せられる。そこで以下、それらについて述べよう。

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