2020.01.22
# 群論 # 離散数学 # ガロア

「ガロア理論」を本気で学ぶための、1時間でわかる離散数学の基礎

一歩ずつ進めば必ず理解できます!
芳沢 光雄 プロフィール

以下、本記事5ページ目で登場した用語について付録として解説する。

ガロア群(\( {\rm Gal} _Q (f)\))

話を簡単にするために、\(f(x)\)をすべての係数が有理数の\( n \)次多項式(最高次係数は1)とすると、代数学の基本定理によって方程式\[f(x)=0\]は複素数の範囲で1次式の積に分解される。さらに\(f(x)\)が有理数の範囲で既約(これ以上因数分解ができない)とすると、有理数体\(Q\)は完全体という性質から、\(f(x)=0\)は重根をもたないことになる。そこで、複素数体\(C\)において\[f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2 )\cdots(x-\alpha_n )\]と分解されるとき、根全体の集合\[\Omega=\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots,\alpha_n\}\]は相異なる\( n \)個の元からなる集合である。

いま、\[Q(\Omega)=\left\{ \dfrac{h(a_1,a_2,\cdots,a_m )}{ g(b_1,b_2,\cdots,b_n )} \Biggr| a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_n \in \Omega, g(b_1,\cdots,b_n )\neq 0 \right\} \]とおく。なお、\(h(x_1,x_2,⋅⋅⋅,x_m )\)と\(g(x_1,x_2,⋅⋅⋅,x_n )\)はそれぞれ有理数係数の多項式全体を動くものとする。

\(L=Q(\Omega)\)は、\(f(x)\)の\(Q\)上の最小分解体と呼ばれる\(C\)の部分体で、ガロアの基本定理の前提にある「\(L\)は\(Q\)の有限次ガロア拡大」という条件を満たす。そして、問題にするのは\(L\)の\(Q\)上のガロア群\({\rm Aut}_Q (L) \)である。これを\(f(x)\)の\(Q\)上のガロア群といい、とくに\({\rm Gal} _Q (f)\)で表す。

ここで\({\rm Gal} _Q (f)\)は体\(L\)の自己同型群となるが、\({\rm Gal} _Q (f)\)の各元は\(\Omega\)上の置換を引き起こすことが分かる。しかも、\({\rm Gal} _Q (f)\)の相異なる元\(\sigma, \tau\)の\(\Omega\)上の作用も相異なるのである。それによって、\({\rm Gal} _Q (f)\)はあたかも\(\Omega\)上の置換群と見なすことができる。

さらに\(f(x)\)の既約性の仮定から、\(\Omega\)上の置換群と見なした\({\rm Gal} _Q (f)\)は、\(\Omega\)上の可移置換群となるのである。なお、\(\Omega\)上の置換群\(G\)が\(\Omega\)上可移であるとは、\(\Omega\)の任意の元\(\alpha, \beta\)に対し、\(g(\alpha)=\beta\)となる\(G\)の元\(g\)が存在することである。

 

可解群

一般に群\( G \)の元\( a,b \)に対し、\( a \) と\( b \) の交換子\( [a,b] \)を次のように定める。\[ [a,b]=a^{-1} b^{-1} ab \]また、 群\( G \)の部分群\( A,B \)に対し、\( A \)と\( B \) の交換子群\( [A,B] \)を次のように定める。

\( [A,B]=\{[a,b]|a \in A, b \in B\} \) で生成された\( G \)の部分群
(\(=\{[a,b]|a \in A,b \in B\} \)を含む\( G \)の最小部分群)

そして、 \( [G,G] \)を\( G \)の交換子群といい、 \[ D_0 (G)=G,D_1 (G)=[G,G],D_{i+1} (G)=[D_i (G),D_i (G)] \ \ (i=1,2,3,\cdots) \] と定める。このとき、\( G \)の部分群の列 \[ G \supseteq D_1 (G) \supseteq D_2 (G) \supseteq D_3 (G) \supseteq \cdots \]を\( G \)の交換子群列といい、\( D_r (G)=\{e\} \)(単位群)となる\( r \)が存在するとき、\( G \)を可解群という。

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