2020.07.10
# 幾何 # 数式

カーナビはなぜ正確なの?その秘密、「三平方の定理」で教えます

折り紙を使った簡単な証明も!動画あり
横山 明日希 プロフィール

さらに3つ目の式は

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)

を\(c^2\)で割ることで、

\(a^2/c^2=b^2/c^2+1\)

となり、

\(1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}\)

が成立します。

むしろ三角比のこの3つの公式は、三平方の定理をベースにつくりあげられている、といってよいでしょう。今回は\(\theta\)の範囲を制限しましたが、\(\theta\)を拡張しても同じように説明することが可能です。

三角比のなかで余弦定理というものも出てきますが、こちらも三平方の定理で証明することができ、密接に繋がっていることがわかります。

さらには、高校2年生(学校によっては高校1年生で早めに習うところもありますが)で学ぶベクトルにおいても、三平方の定理が活用されます。

ベクトルは向きと大きさを持つものですが、たとえば原点からxy座標(3, 2)に伸びているベクトルは

のように表すことができます。先ほど述べたようにベクトルには大きさがありますが、その大きさは矢印の長さと捉えることができます。

ということでこのベクトルの場合の矢印の長さは、三平方の定理によって求めることができ、長さを\(l\)とすると

\(l^{2}=3^{2}+2^{2}\)

\(l=\sqrt{13}\)

となります。

もちろんベクトルだけではなく、座標上にある斜めの線の長さを求めるためにはこの三平方の定理が必要になります。そう考えると、あらゆる分野にこの定理が関連してくるような気配を感じるはず。

もちろん、答えはYESなのです。

 

さて、2つの章にわたって三平方の定理とその関連の話題を話してきました。間違いなく印象に残っている定理のひとつだったはずですが、この記事を読んで少しでも三平方の定理の見方が変わったのであれば幸いです。

 

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