京大の入試がすごい！自分で得点を決められる伝説の数学問題がこちら

自分で得点を決められる問題？

自分の得点を自分で決められるというのだから、一見、実に楽しそうな問題だ。

「わたしの好きな自然数は100です。100点ください」となるのならいいのだが、g(n)を求めなければならないところがアヤシイ。いったい、どんな仕掛けになっているのだろうか。ともかく問題を解いてみよう。

(1)ではn^7を7で割った余りがnを7で割った余りと等しいことを示せ、と言っている。

この証明、かなりややこしいことになる。（modを使ったすっきりとした証明はブルーバックス『やじうま入試数学』で解説しています。）

とにかくn^7－nが7の倍数であることを示すため、これを因数分解して、7k、7k＋1、…を代入していけば、何か見えてくるかもしれない。

n^7－nを因数分解する。

A = n^7－n
　= n(n^6－1)
　= n(n^3＋1)(n^3－1)
　= n(n＋1)(n^2－n＋1)(n－1)(n^2＋n＋1)

kを整数とすると、

n＝7kのとき、Aは7の倍数。

n＝7k＋1のとき、n－1＝7k＋1－1＝7kなので、Aは7の倍数。

n＝7k＋2のとき、n^2＋n＋1＝49k^2＋35k＋7＝7(7k^2＋5k＋1)なので、Aは7の倍数。

以下同様にしてn＝7k＋6までを代入してＡが7の倍数になることを確かめれば、n^7－nが7の倍数であることが示せる。