「多様体」とはどんなもの? 現代数学と現代物理、必須の概念の定義とイメージをつかむ

高次元空間を見る方法』で好評を博した小笠英志さんが上梓した『多様体とは何か』。その執筆の動機は、現代の数学や物理を理解することが、この「多様体」という概念の理解を抜きにしては決して語ることができないことだと言います。

「例えば超弦理論、三体問題、トポロジカル物質、ポアンカレ予想、フェルマー予想、リーマン予想など、何を学ぶにしても必要となる最重要の基本概念のひとつが多様体なのです。皆さまぜひ、本記事で多様体とは何か、その雰囲気を味わって下さい」

本記事では前回の記事「宇宙はどんな形をしているのか」に続き、『多様体とは何か』の一節を紹介することで、多様体の概念を簡単につかみながら、"実は多様体の理解こそ前作の『高次元空間を見る方法』と同様、「高次元空間」という人々を惹き付けてやまない概念を想像する良いアプローチにもなる"ということを見ていきます。

さて、前記事では宇宙の形を想像するための一例として、「2個の3次元球体を貼り合わせた多様体」というものを想像してみました。そこで今回は、基本に立ち戻って多様体というものの定義(の大体)を紹介し、より具体的なイメージをつかんでいただきたいと思います。

定義とは約束とかそう決める、ということです。たとえばご存じのとおり、正三角形の定義は「3辺の長さが等しい」です。

それでは、多様体を定義します。

1次元多様体

次に1次元多様体を定義するために、中学・高校数学程度の用語いくつかを復習します。直線には、座標をとることができます。この座標をxなどで表します。

【図】直線【図】直線

ここで、直線を1次元空間ℝ1といいます。名前の由来は実数(Real number)の座標が1個(1次元方向に)とれるからです。ℝ1は、Real numberの最初のRと1個の1に由来します。

さて、座標をxでとります。a,bを、a<bであるようなどんな実数でもよいとします。a<x<bで表されるものを開区間といいます。a≦x≦bで表されるものを閉区間といいます(ちなみに、線分と閉区間は同じものです)。

1次元空間ℝ1をℝ1、1次元空間ℝ、ℝと書くこともあります。また、座標をxでとった1次元空間ℝをx空間ℝとかx空間ℝ1と書くこともあります。

直線に含まれる1点をどれでもよいので注目しましょう。すると、その点のまわりは小さい開区間になっています。1次元多様体とは、図形であって、その図形に含まれる点はどの点も、その点のまわりは開区間になっているものです。1次元空間ℝ1は1次元多様体です。「その点のまわり」というのは、「その点を含む、その点のあたり、まわり」というニュアンスです。

円も1次元多様体です。円の各点のまわりは曲がった開区間ですが、曲がっているのは気にしません。曲がりを伸ばせばまっすぐな開区間になると思って、今は先に進んでください。

それ以外には、直線の部分的な開区間も、1次元多様体です。

円は連結1次元多様体

ひとつらなりにつながっている図形を連結な図形といいます。1個の円は連結1次元多様体です。

【図】円は連結1次元多様体【図】円は連結1次元多様体
 

連結1次元多様体は1次元空間ℝ1と円だけしかないことが知られています。楕円や正方形も曲げて変形していけば円になるので、円とみなします(そのような立場で今は進みます)。円と円周は大体の場合、同じ意味で使います。また、ここではℝと開区間1個は同じものという立場です。気持ちだけ言うと、開区間1個をぐぅんと、無限の長さに引っ張ったらℝというイメージです。

0次元多様体

話を少し戻って、点を0次元空間といいます。0次元多様体とは、点のことです。