2022.02.26
# 数式

【自然数の累乗和】ひとめでわかる1+2+3+…、1²+2²+3²+…、1³+2³+3³…の図形的な意味

神童ガウスはなぜ一瞬で計算できたのか?

横山明日希の〈数式図鑑〉

「数学のお兄さん」として活躍する横山明日希さん。数学×恋愛、数学×お笑い等、数学と異分野を掛けあわせた独自の切り口で、より数学を身近にする授業、講演などで人気です。

そんな横山さんの新著『数式図鑑』は、数学好きには外せない、さまざまな数式の美しさ、すごさ、不思議さをわかりやすく伝えるとっておきの数式集です。本書から、初めて知る数式や、よく知る数式の意外な一面など、読みどころを、ここにご紹介しましょう!

今回は、1+2+3+…や1²+2²+3²+…、1³+2³+3³…という自然数の累乗和を考えたとき、その結果が平面や立体の図形として視覚的に見事に理解できる、という感動を与えてくれる数式をお届けします。

自然数の累乗和

Σk=n(n+1)/2

Σk²= n(n+1)(2n+1)/6 

Σk³={n(n+1)/2}²

※本記事ではシグマ記号(Σ)はすべて、kにk=1から自然数nまでの値を入れた結果を足し合わせたものを省略して表しています。

天才ガウス少年はどう計算した?

1から10までの自然数の和1+2+3+…+10は、   

(1+10)×10÷2=55

と計算ができます。これ自体に大きな意味があるわけではありませんが、ドイツの数学者ガウスの逸話があります。当時7歳の小学生だったガウス少年。数学ができて生意気なガウス少年を困らせようと、先生が「1から100までの数を足すとどうなるか」という問題を出しました。

【写真】カール・フリードリッヒ・ガウスカール・フリードリッヒ・ガウス photo by gettyimage

先生は、しばらくガウスも黙って悪戦苦闘して計算することだろうと思っていると、なんとガウス少年、一瞬で「なんだ、そんなの簡単です。5050です」と解いてしまったのです。先生は驚き、「もうガウスに教えることは何もない」と言ったそうです。

ブロックで考えればわかりやすい

この問題を、当時のガウス少年がどうやって計算したのか厳密にはわかりませんが、図のようにブロックを並べて考えることでわかりやすく理解することができます。

【図】ブロックで考える

これにより、1からnまでの自然数の和は、nと次のn+1をかけて2で割った値という見出しの式が理解できると思います。では、次に自然数をそれぞれ2乗したもの、つまり自 然数の2乗和についても考えてみましょう。先に結論から書いてしまいますが、2乗和は以下のようになります。

1²+2²+3²+…=Σk²=n(n+1)(2n+1)/6   

どうしてこのような式になるのでしょうか。

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